www.ypnh.net > 求lim(tAnx%sinx)/sinx∧3 (x→0) 为什么不能把原试...

求lim(tAnx%sinx)/sinx∧3 (x→0) 为什么不能把原试...

因为tanx精确的说是近似与x/√(x*x+1),这类应用无穷近似值求极限不能简单粗暴的把lim(A+B)拆成=limA+limB,而得先应用三角函数转化,把(tanx-sinx)=(1-cosx)sinx/cosx=2sin(x/2)sin(x/2)sinx/cosx再应用替换,基本都必须把和差形变...

见图。

因为这两个极限都不存在,极限的四则运算只有当两个极限都存在时才能使用。

注意在x趋于0的时候, tanx、sinx和x 都是等价的, 即tanx/x、sinx/x的极限值都是 1 所以得到 tanx -sinx=tanx *(1-cosx) 而1-cosx 等价于0.5x^2, 于是原极限=lim(x->0) x *0.5x^2 /x^3= 0.5 故极限值为0.5

无穷近似值代换,二倍角公式 =lim(1-cosx)/x²limtanx/x =lim2sin²(x/2)/x² =lim2(x/2)²/x² =1/2

等价无穷小替换不能用于加减计算

因为此时分子整体 sinx-tanx~x-x=0 任何无穷小不能和0等价,说明你这个等价无穷小找错了。

减1加1不能得到正确的结果

式子乘以sinx,分子变为sinx-sinxcosx , 提取sinx,就可以用等价了

用洛必达法则对分子分母上下求导 原式 =lim(1-secx)/(2xsinx+x^2*cosx) =lim(-2sinx/cos^3x)/(2sinx+2xcosx+2xcosx-x^2sinx) =lim(-2-4sin^2x/cos^4x)/(2cosx+4cosx-4xsinx-2xsinx-x^2cosx) =-1/3 实在无语,相似度有那么高吗,不就是答案一样吗

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