www.ypnh.net > 大学线性代数证明题,设A为n阶矩阵,且满足AAT=E,A的行列式小于零,证明%1是A的一个特征值

大学线性代数证明题,设A为n阶矩阵,且满足AAT=E,A的行列式小于零,证明%1是A的一个特征值

因为AAT=E,所以A为正交矩阵,且|A| |A+E|=|A+AA^T|= |A(E+A^T)| 这一步骤是怎么推倒的?证明假设A特征值为λ,则A^()-1=A^t,特征值相同:λ=1/λ λ^2=,λ=1.-1

证明: |A+E|= |A+AA^T|= |A(E+A^T)|= |A||(E+A)^T|= |A||A+E|所以 |A+E|(1-|A|)=0因为 |A|<0, 所以 1-|A|≠0所以 |A+E|=0所以 -1 是A的特征值.

这是一个很简单的线代证明了!因为A^2=A,所以A(A-E)=0则有:R(A)+R(A-E)小于等于n又因为(A-E)+(-A)=-E则有:R(-A)+R(A-E)大于等于n由于R(-A)=R(A)所以R(A)+R(A-E)大于等于n由夹逼定理可知:R(A)+R(A-E)等于n陈文灯的数学考研辅导有专门介绍,就是一个定理的使用!相信能够解决您提出的问题!

证明:∵|A+E|=|A+AAT|=|A||E+AT|=-|(E+A)T|=-|E+A|∴2|E+A|=0,即|E+A|=0.

证明:设r是A的特征值,x是r对应的特征向量,则:x不等于零向量;Ax=rxAAx=A(rx)=r^2x=Ax=rx(r^2-r)x=0 x不等于零向量,故 r^2-r=0所以 r=0 或 1

要证明(E+A)(E-A)*=(E-A)*(E+A)只需证明(E-A)(E+A)(E-A)*(E-A)=(E-A)(E-A)*(E+A)(E-A)(两边同时左乘和右乘(E-A))即需证(E-A)(E+A)|E-A|E=|E-A|E(E+A)(E-A)由公式AE=EA=A,且|E-A|只是一个系数上式即证明(E-A)(E+A)=(E+A)(E-A)左边=EE-AE+EA-AA=E-AA右边=EE+AE-EA-AA=E-AA证毕

只要证明|A+E|的行列式为0就可以了.|A+E|=|A+AA^T|=|A(E+A^T)|=|A||E+A^T|=-|(A+E)^T|=-|A+E|移一下项就得到 2|A+E|=0,从而|A+E|=0,即A必有一个特征值为-1.不清楚再讨论:Q1054 7 2 1 2 4 6

AA' = E , 是吧 等式两边取行列式得 |A|^2 = 1 因为 |A|<0 所以 |A| = -1 所以 |A+E| = - |A+E||A| = -|A+E||A'| = - |AA'+A'| = - |E+A'| = - |(E+A)'| = - |E+A| = - |A+E| 所以 |A+E| = 0.

证明: |A+E| = |A+AA'| = |A(E+A')| = |A||E+A'| = |A||(E+A)'| = -|E+A|.所以 |A+E| = 0.注: A' = A^T满意请采纳^_^

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